2. даны координаты вершин четырехугольника abcd: а (–6; 1), в (0; 5), с (6; –4), d (0; –8). докажите, что abcd – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
1) по формуле "расстояние между 2-мя точками" найдем длины сторон ав и сд:
iавi=sqrt((0+6)^2+(5-1)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);
icdi=sqrt((6-0)^2+(-4+8)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);
2) аналогично: ibci=sqrt((0-6)^2+(5+4)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);
iadi=-0)^2+(1+8)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);
3) так как противоположные стороны 4-хугольника равны, то это параллелограмм.
4) iaci=sqrt((6+6)^2+(-4-1)^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13;
ibdi=sqrt((0-0)^2+(5+8)^2)=sqrt(169)=13;
5) параллелограмм с равными диагоналями - параллелограмм;
6) пусть точка пересечения диагоналей - точка о(х; у) - середина диагонали ас. по формулам координат середины отрезка о((6-6)/2; (-4+1)/2), т.е. о(0; -1,5).
диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. точка пересечения диагоналей - центр ромба и она делит высоту ромба так же пополам. в прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, катеты относятся как 3: 4, значит треугольник пифагоров (или египетский) и отношение сторон в нем равно 3: 4: 5. пусть коэффициент отношения равен х. тогда по свойству высоты из прямого угла в этом треугольнике имеем: 12 = 3х*4х/5х => х = 5см.
половины диагоналей равны 3х = 15см и 4х=20см, а диагонали, соответственно, равны d=30см и d=40см.
площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
s = 30*40/2 = 600см².