Даны две окружности, расположенные так, что одна окружность проходит через центр другой окружности. Найдите радиусы данных окружностей, если длина общей хорды равна 6 .
Определите их сумму.

ответ: =4√3

Объяснение:

Проведи О1О2  . Для обеих окружностей этот отрезок- радиус.

Значит общая хорда АВ , пересекаясь с О1О2 делится точкой пересечения К пополам . О1О2 также делится точкой К пополам.

Если ОК=х, то радиус  =2х,

Тогда О1К=х , ОА=2х, АК=3 . ΔО1АК прямоугольный с гипотенузой О1А. По теореме Пифагора находим х.

О1К²+АК²=О1А² => x²+3²=(2x)² => x²+9=4x²=> 9=3x² => x=√3,

радиус  =2х=2√3=>  2 радиусa  =4х =4√3,

Интересно, где вы учитесь, если такие . вот решение этой без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий) мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3; окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других. то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3; остается подставить это в известные соотношения 1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3; и 4r = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где r - радиус описанной окружности. то есть 4r = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3; это все. я бы конечно мог вывод этих формул, но вам бы никогда не задали эту , если бы не выводили их на занятиях. к примеру, площадь s исходного треугольника равна s = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/s + (p - b)/s + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/s = p/s = 1/r; вывод формулы для r намного сложнее технически, но по сути - то же самое.

Пусть данный треугольник abc, в нем опущены высоты ak и bn, ортоцентр - o. нарисуем точку, симметричную o относительно bc: продолжим ok на отрезок, равный ok, за точку k. обозначим полученную точку l. теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный пусть ∠obk = a δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана => ∠kbl =  ∠obk = a из  δbnc  ∠nbc = 90 -  ∠bcnиз  δakc  ∠kac = 90 -  ∠kcn∠kcn и  ∠bcn - один и тот же угол =>   ∠kac =  ∠nbc = a ∠lac =  ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc.оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично