Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкостью (1000 см в кубе).при каком радиусе основания

объем цилиндра:

v=πhr² = 1000см³ => h=1000/πr²

площадь поверхности цилиндра:

s=2πr²+2πhr=2πr²+(1000·2πr)/(πr²)=2πr²+2000/r

берем производную по r

s'=4πr-2000/r²

чтобы найти минимум - надо приравнять производную к нулю (найти точку экстремума)

4πr-2000/r²=0 => (4πr³ - 2000)/r² = 0; r²≠0 =>   4πr³ - 2000=0 => 4πr³ = 2000,

r=∛(500/π)≈5.42

-                                       +

*>

s(r) убывает           5,42       s(r) возрастает

r - точка минимума.

ответ: при радиусе 5,42 см расход материала минимален

1. пусть первый тракторист может самостоятельно выполнить за х часов, а второй за (х+7) часов,зная, что вместе они могут выполнить за 12 часов, имеем уравнение:

12x+84+12x-x^2-7x=0

x^2-17x-84=0

2. а-производительность первой трубы  

b-производительность второй трубы  

c-произовдительность третьей трубы  

d-производительность четвертой трубы  

a+b+c=1/105  

a+b+d=1/75  

c+d=1/175  

складываем эту систему  

получаем:  

2a+2b+2c+2d=1/105+1/75+1/175  

2(a+b+c+d)=1/35  

a+b+c+d=70  

итого, 70 минут, 1 час 10 минут  

ответ: 1 ч 10 мин

x1=21,   x2=-4 - не удовлетворяет условию

значит первый тракторист выполнить самостоятельно за 21 час, а второй - за 28 часов

ответ: 21 час и 28 часов.

!

х-у=-2                         у=2+х                             х+2+х=6

х+у=6                       х+у=6                             2х=4

                                                                        х=2

у=2+2

у=4

ответ: (2; 4)